ఈ విశ్వం (universe) ఏ ఆకారంలో ఉంది? - 2

రచన : వేమూరి వేంకటేశ్వరరావు
(గత టపా తరువాయి)

క్రీ. పూ. మూడవ శతాబ్దం నుండి క్రీ. శ. పదిహేడవ శతాబ్దానికి వద్దాం. గెలిలియో (Galileo) దూరదర్శినితో ఆకాశంలోకి చూసిన తరువాత మన దృక్పథమే పూర్తిగా మారిపోయింది. అటు తరువాత న్యూటన్ వచ్చి ఈ విశ్వాన్ని అనంతమైనదిగా ఉహించుకున్నాడు. అంతే కాకుండా న్యూటన్ తన సిద్ధాంతాలన్నిటికీ ఆసరాగా ఈ అనంతమైన విశ్వం బల్లపరుపుగా ఉన్నాదని ఊహించుకున్నాడు. ఈ నమ్మకంతోటే న్యూటన్ తన సిద్ధాంత సౌధాన్ని యూక్లిడ్ నిర్మించిన క్షేత్రం మీద నిర్మించేడు. యూక్లిడ్ క్షేత్రం బల్లపరుపుగా ఉంది కనుక న్యూటన్ ఊహించుకున్న విశ్వం కూడ బల్లపరుపుగానే ఉందని మనం అనుకోవచ్చు కదా?

న్యూటన్ తను నిర్మించిన ‘మేడ’ బీటలుదేరి కూలిపోబోతున్నాదని కలలో కూడ అనుకొని ఉండడు. కానీ, న్యూటన్ తరవాత రెండు శతాబ్దాలైనా తిరగకుండానే విశ్వాకారం యూక్లిడ్ క్షేత్రంలా బల్లపరుపుగా లేదని తేలిపోయింది, ఆ విశ్వంలో అనువర్తించే చలన సూత్రాలు న్యూటన్ ఉద్ఘాటించినట్లు వాడడం కుదరదనీ, వాటికి కొద్ది కొద్ది మార్పులు చెయ్యవలసి ఉంటుందనీ తేలిపోయింది. న్యూటన్ నిర్మించిన సౌధం ఇలా కూలిపోవటానికి రెండు వైపుల నుండి దాడి జరిగింది. ఒక వైపు నుండి యూక్లిడ్ నమ్ముకున్న ‘విస్పష్ట సత్యాలు’ విస్పష్టమూ కాదు, సత్యమూ కాదు అని ఆక్షేపణ వచ్చింది. ఈ ఆక్షేపణకి సారథ్యం వహించినది రష్యా దేశపు నికొలాయి లొబచేవ్‌స్కీ (Lobachevsky) మరియు హంగరీ దేశపు యానోస్ బోల్యాయీ (Bolyai). రెండవ వైపు నుండి జరిగిన దాడి విశ్వాకారం ‘యూక్లిడ్ క్షేత్రం’ లా ఉంటుందనే న్యూటన్ నమ్మకం మీద. ఈ దాడికి సారథి జెర్మనీ దేశస్తుడైన బెర్నార్డ్ రీమాన్ (Bernard Riemann).

తన మనోభావాలనీ, సిద్ధాంతాలనీ రీమాన్ ఎలా ప్రభావితం చేసేడో అయిన్‌స్టయిన్ ఇలా చెబుతాడు: “…రీమాన్ ఏకాకిలా జీవితం గడుపుతూ ఎవ్వరికీ అర్థం కాకుండా ఉండిపోయినా, విశ్వాకారానికి రూపులు దిద్దటంలో అతని మేధోత్పత్తి విజ్ఞుల హృదయాలని జయించింది..”. ఈ ప్రశంసకి ప్రేరణ కారణం 28 ఏళ్ళ రీమాన్ గోటింగెన్ విశ్వవిద్యాలయంలో ఉద్యోగం కోసం వెళ్ళినప్పుడు ‘క్షేత్రగణితపు ప్రాతిపదికల పై వ్యాఖ్యానం’ (“On the hypotheses on which geometry is based”)అన్న అంశం పై ఇచ్చిన ప్రసంగం. ఈ ప్రసంగంలో రీమాన్ ఎన్నో కొత్త భావాలని ప్రవేశపెట్టేడు; ‘స్థలం’ (space) లేదా ‘అంతరాళం’ అన్న మాటకి కొత్త భాష్యం చెప్పేడు.

యూక్లిడ్ క్షేత్రగణితానికి మౌలికాంశాలు బల్లపరుపు కాగితం మీద కొలబద్ద, వృత్తలేఖిని ఉపయోగించి గీసే బొమ్మలు . రీమాన్ ఈ పాత భావాలని, పాత పదజాలాన్ని, కాగితాల మీద గీసే బొమ్మలనీ పక్కకి తోసి సరికొత్త పద్ధతిలో, సరికొత్త పదజాలంతో సరికొత్త క్షేత్రగణితాన్ని నిర్మించేడు. రెండు దిశలలో మాత్రమే వ్యాప్తి చెందిన ‘బల్లపరుపు ప్రదేశం’ అనే భావన వేసిన సంకెళ్ళని సడలించి ఈ సరికొత్త క్షేత్రగణితం కొత్త భవనానికి పునాదులు వేసింది. రీమాన్ ప్రవేశపెట్టిన కొత్త పదజాలంలో మొదటిది మేనిఫోల్డ్ (manifold). మేనిఫోల్డ్ అంటే మరేమీ కాదు - అదొక బిందువుల సమూహం; మనకి ఇంతవరకు పరిచయమయిన ఆకారాలతో నిమిత్తం లేకుండా ఈ బిందుసమూహాన్ని ఊహించుకొండి. ఒక క్షేత్రంలో ఒక బిందువు ఎక్కడ ఉందో తెలియచెయ్యటానికి కొన్ని సంఖ్యలు వాడతాం కదా. ఉదాహరణకి విశాఖపట్నం ఎక్కడుందో చెప్పాలంటే దాని అక్షాంశం, రేఖాంశం చెబితే సరిపోతుంది. ఎవరెస్టు శిఖరాగ్రం ఎక్కడుందంటే దాని అక్షాంశం, రేఖాంశం, ఎత్తు చెబితే సరిపోతుంది. “ఒక బిందువు ఉనికిని వర్ణించటానికి, గణితశాస్త్రం దృష్ట్యా, మూడే మూడు కొలతలు ఉండాలనే నిబంధన ఏదీ లేదు, ఎన్ని కొలతలు కావలిస్తే అన్ని కొలతలు వాడుకోవచ్చు, అవసరమైతే అనంతమైనన్ని కొలతలు వాడుకోవచ్చు” అని రీమాన్ అన్నాడు. ఇది తొందరగా మింగుడు పడని క్లిష్టమైన భావన అయినప్పటికీ చిన్న ఉపమానంతో ఉదహరిస్తాను. ఒక మనిషిని వర్ణించాలంటే పొడుగు, బరువు, మాట్లాడే భాష, శరీరపు ఛాయ, జుత్తు రంగు ‘కొలతలు’ గా వాడి ఆ మనిషిని 5-దిశల క్షేత్రంలో ఒక బిందువుగా చూపవచ్చు. ఈ రకం క్షేత్రంలో ఉన్న బిందుసమూహం పేరు మేనిఫోల్డ్. మనం తెలుగులో ‘బిందుసమూహం’ అనొచ్చు.

రీమాన్ ప్రవేశపెట్టిన రెండవ భావన మెట్రిక్ (metric), లేదా కొలమానం. యూక్లిడ్ క్షేత్రగణితంలో రెండు బిందువుల మధ్య దూరం కావాలంటే పైథాగరస్ సిద్ధాంతాన్ని కొలమానంగా ఉపయోగించి లెక్క కడతాం. యూక్లిడ్ గణితంలో కాగితం మీద ఉన్న ఒక బిందువుని వర్ణించటానికి రెండు నిరూపకాలు (co-ordinates) కావాలి. “రెండు బిందువుల x-నిరూపకాల మధ్య దూరాన్నీ y-నిరూపకాల మధ్య దూరాన్నీ వర్గీకరించి కలపగా వచ్చిన మొత్తం ఆ రెండు బిందువుల మధ్య దూరపు వర్గానికి సమానం” అన్నది మనందరికి పరిచయమైన పైథాగరస్ సూత్రం. ఈ సూత్రం రీమాన్ క్షేత్రంలో ఎలా మార్పు చెందుతుందో చూద్దాం. ఉదాహరణకి, రెండు కొలతలు గల రీమాన్ క్షేత్రంలో రెండు బిందువుల మధ్య దూరం యొక్క వర్గం కావాలంటే ఆయా బిందువుల x-నిరూపకాల మధ్య దూరాన్నీ y-నిరూపకాల మధ్య దూరాన్నీ వర్గీకరించి, వాటిని ఆ పళంగా కలిపేయకుండా, ఆ వర్గాలని వేర్వేరు నిష్పత్తులలో కలిపగా వచ్చిన మొత్తాన్ని ఆ బిందువుల మధ్య దూరంగా నిర్వచించవచ్చు అన్నాడు రీమాన్. (The square of distance between two points can be defined as the weighted average of the square of the differences between the individual coordinates). ఇది కేవలం సాధరణీకరించిన పైథాగరస్ సిద్ధాంతం (Generalized Pythagoras Theorem) అని గమనించండి.

రీమాన్ ప్రవేశపెట్టిన మరొక రెండు కొత్త భావాలు: ఒంపు లేదా వక్రత (curvature), సంస్థరణం(embedding). యూక్లిడ్ నిర్మించిన ప్రపంచంలో వక్ర రేఖలు (curved lines), వక్ర తలాలు (curved surfaces) ఉంటాయి. వృత్తంలో ఒక భాగమైన చాపం (arc) వక్ర రేఖకి ఒక ఉదాహరణ. గోళం (sphere) యొక్క ఉపరితలంలో ఒక భాగం వక్ర తలానికి ఉదాహరణ. కాని యూక్లిడ్ ప్రపంచంలో ‘వక్ర స్థలం’ (curved space) అనే భావన లేనే లేదు. కాని రీమాన్ ప్రపంచంలో ఎన్ని కొలతలు ఉన్న ప్రదేశంలో అయినా, ఏ బిందు సమూహానికయినా వక్రత (curvature) ఉండొచ్చు; ఒకే ఒక దిశలో వ్యాప్తి చెందిన తీగకి వక్రత ఉండొచ్చు, రెండు దిశలలో వ్యాప్తి చెందిన అప్పడానికి వక్రత ఉండొచ్చు, మూడు దిశలలో వ్యాప్తి చెందిన బంతికి వక్రత ఉండొచ్చు, నాలుగు దిశలలో వ్యాప్తి చెందిన ‘మరొకదాని’కి వక్రత ఉండొచ్చు. ఈ వక్రతని గణితపరంగా తప్ప బొమ్మల రూపంలో ఊహించుకోవటం కష్టం.

రెండు దిశలలో వ్యాప్తి చెందిన పూరీ నూనెలో పడగానే ‘పొంగటం’ ఒక రకమైన వక్రత. ఇలా రెండు దిశలలో వ్యాప్తి చెందిన పూరీ వక్రత చెందినప్పుడు మూడవ దిశలోకి పొంగింది. కనుక రెండు దిశలలో ఉన్న పూరీ పొంగినప్పుడు మనం బల్లపరుపుగా ఉన్న ప్రపంచంలో బంధితులమై ఉండుంటే ఆ పొంగు కనిపించి ఉండేది కాదు; మనం మూడు దిశల ప్రపంచంలో ఉన్నాం కనుక చూడగలుగుతున్నాం. ఇదే విషయాన్ని మరొక విధంగా చెబుతాను. రెండు దిశల ప్రపంచంలో కనిపించని వక్రత వంటి లక్షణాలు కనిపించాలంటే ఆ పూరీ ని మూడు దిశల ప్రపంచంలో సంస్థరించాలి (లేదా embed చెయ్యాలి). ఇప్పుడు పలచగా ఉన్న పూరీ నుండి గుండ్రంగా ఉన్న భూమి మీదకి వద్దాం. భూమి ఉపరితలం కూడ రెండు దిశలలో మాత్రమే వ్యాప్తి చెంది ఉందని మరచిపోకండి - పూరీలా నేలబారుగా కాకుండా ఉబ్బెత్తుగా ఉన్నా, దాని వ్యాప్తి రెండు దిశలలోనే! ఇలా వ్యాప్తి చెందిన భూమి ఉపరితలం మీద ఉన్నంతసేపూ మనకి భూమి గోళాకారం (మూడవ దిశలో చెందిన వ్యాప్తి) అవగాహన కాదు; భూమి ఉపరితలం నుండి పైకి లేచినప్పుడే భూమి గోళాకారం మనకి అవగాహన అవుతుంది.

ఈ కొత్తరకం ఊహలు పరిపూర్ణంగా అర్ధం కావాలంటే గణిత శాస్త్రపు లోతులు అవగాహన చేసుకునే అనుభవం ఉండాలి. యూక్లిడ్‌లా కాగితం మీద బొమ్మలు గీసి చూపించటానికి వీలు పడదు. ఇది అర్ధం చేసుకోవటం ఎంత కష్టం అనిపించినా ఒక విషయం మాత్రం మరువకూడదు. విశ్వాకారం అవగాహన కావాలంటే శతాబ్దాలపాటు పాతుకుపోయిన యూక్లిడ్ మార్గం –సుగమమైనా, ప్రయోజనం లేని మార్గం; ఎంత దుర్గమం అయినా రీమాన్ చూపెట్టిన మార్గమే మనకి శరణ్యం. విశ్వం ఆకారాన్ని సాంతం (finite) అయిన, అపరిమిత (unbounded) క్షేత్రం (field) తో ఒక నమూనాని నిర్మిస్తే అది విశ్వం నిజమైన ఆకారానికి దగ్గరలో ఉంటుంది అని రీమాన్ చెబుతాడు. బంతి ఆకారం, లేదా గోళాకారం మనకి అనుభవంలో ఉన్నదీ, మూడు దిశలలో వ్యాపించినదీ, సాంతం అయినదీ, అపరిమితం అయిన స్థలానికి ఉదాహరణ. రీమాన్ తన విశ్వాకారాన్ని వర్ణించటానికి ప్రయత్నం చెయ్యలేదు; మూడు కంటె ఎక్కువ దిశలలో వ్యాప్తి చెందిన స్థలాలని గణితపరంగా వర్ణించేడు, అంతే. ఆ నమూనాని అయిన్‌స్టయిన్ వాడుకుని నాలుగు కొలతల విశ్వాన్ని నిర్మించేడు.

విశ్వాంతరాళం రీమాన్ చెప్పినట్లు ఒంపు తిరిగి ఉంది అంటే, యూక్లిడ్ వాడిన బల్లపరుపు క్షేత్రంలా లేదనే కదా! అంటే యూక్లిడ్ సూత్రాలన్నీ ఈ ఒంపు తిరిగిన క్షేత్రం మీద పని చెయ్యవని మనం గ్రహించాలి. ఉదాహరణకి పైథాగరస్ సిద్ధాంతం విశ్వాంతరాళంలో పని చెయ్యదు. ఉదాహరణకి మనం భూమి నుండి 3 కాంతివత్సరాలు (light years) దూరంలో ఉన్న A అనే గెలాక్సీ దగ్గరకి వెళ్ళి, అక్కడ నుండి 90 డిగ్రీలు కుడి పక్కకి తిరిగి, 4 కాంతివత్సరాలు దూరంలో ఉన్న B అనే గెలాక్సీకి ప్రయాణం చేసి వెళ్ళేం అనుకుందాం. ఇప్పుడు భూమికీ, Bకి మధ్య ఉండే అత్యల్ప దూరం (shortest distance) 5 కాంతివత్సరాలు ఉంటే, భాస్కర సిద్ధాంతం పని చేసిందనిన్నీ, విశ్వాంతరాళం బల్లపరుపుగా ఉందనిన్నీ మనం తీర్మానించ వచ్చు; అలా కాక పోతే విశ్వాంతరాళం రీమాన్ చెప్పినట్లు ఒంపు తిరిగి ఉందని ఒప్పుకోవాలి. ఈ దూరం 5 కాంతివత్సరాలు కంటే తక్కువ ఉంటే ఈ ఒంపుది ధనాకారం (positive curvature) అనిన్నీ, 5 కాంతివత్సరాలు కంటే ఎక్కువ ఉంటే ఈ ఒంపుది రుణాకారం (negative curvature) అనీ అంటారు. వందల సంవత్సరాల క్రిందట గ్రీకులు భూమి (యూక్లిడ్ నిర్వచనం ప్రకారం) గోళాకారంలో ఉందని నిర్ధారించినట్లే, ఈ నాడు విశ్వం (రీమాన్ నిర్వచనం ప్రకారం) గోళాకారంలో ఉందని అంటాం.

ఇంకా ఉంది. పేజీ: 2