ఫెర్మా చివరి సిద్దాంతం

ఫెర్మా చివరి సిద్దాంతం 

గణిత శాస్త్రంలో ఫెర్మా చివరి సిద్దాంతం దరిదాపు 350 సంవత్సరాలబట్టి పరిష్కారం లేకుండా ఉండిపోయిన గడ్డు సమస్య. ఎందరో మహానుభావులు ప్రయత్నం చేసి విఫలులయేరు. చివరికి నలుగురు సాయం పట్టి ఈ గడ్డు సమస్యని గట్టుకి చేర్చేరు. ఇదెలా జరిగిందో ఆ కథ కమామీషూ ఒక పెద్ద వ్యాసం రూపంలో రాసి ఈమాట జాలపత్రికలో ప్రచురించేను. దానిని కినిగే ప్రచురణ సంస్థ (kinige.net) ఇ-పుస్తక రూపంలో ప్రచురించి, ఉచితంగా పంపిణీ చేస్తున్నారు.

ఈమాట జాలపత్రికలో ప్రచురణ పొందిన ఈ వ్యాసంలో అక్కడక్కడ కనిపించిన అచ్చు తప్పులు సరిదిద్ది, పాఠక మహాశయులు అభిప్రాయాలని లెక్కలోకి తీసుకుని మరికొన్ని మార్పులు, చేర్పులు చేసి, నా సంతృప్తి కోసం ఒక నఖ చిత్రంలా ఋజువుని ఇంగ్లీషులో కూడ రాసి, ఒక పుస్తకం రూపంలో ప్రచురించేను. ఈ దిగువ ఇచ్చిన కినిగె లంకె నుండి ఈ పుస్తకాన్ని ఉచితంగా దింపుకోవచ్చు!

http://kinige.com/kbook.php?id=7464

నమస్కారం
వేమూరి వేంకటేశ్వరరావు

మేప్ రెడూస్ (MapReduce) అంటే ఏమిటి?

మేప్ రెడూస్ (MapReduce) అంటే ఏమిటి?

గత బ్లాగులో హడూప్ ని పరిచయం చేసేను కదా. ఈ హడూప్ లో రెండు భాగాలు ఉన్నాయి: ఒకటి హడూప్ పరిచారకి (Hadoop File Server), రెండవది “మేప్‌రెడూస్ (MapReduce).

“హడూప్ పరిచారకి” అనేది భారీ ఎత్తున దత్తాంశాలని దాచుకునే కొట్టు; ప్రత్యేకమైన హంగులతో ఉన్న కొట్టు గది. ఈ కొట్టు గది లేదా కోష్ఠం గురించి గత బ్లాగులో కొద్దిగా చెప్పేను కదా. ఇప్పుడు ఆ రెండవ భాగం గురించి టూకీగా చెబుతాను.

ప్రతి ప్రాణికి మెదడు, గుండెకాయ ఎలాంటివో, ప్రతి కంప్యూటరుకీ కలన కలశం (processing unit), కోష్ఠం (storage unit) అలాంటివి. హడూప్‌లో ఉన్న “కలన కలశాన్ని” భారీ ఎత్తున కలనం చెయ్యడానికి అనువుగా నిర్మించి, దానికి “మేప్‌రెడూస్” అని ముద్దు పేరు పెట్టుకున్నారు. “మేప్‌రెడూస్” లో సాధారణ కలన కలశాలవంటి కలశాలు వందలు, వేల కొద్దీ ఉంటాయి. పెద్ద బరువుని లాగవలసి వచ్చినప్పుడు ఒక ఏనుగు చేత లాగించవచ్చు లేదా పది గుర్రాల చేత లాగించవచ్చు. అలాగే భారీ ఎత్తున కలనం చెయ్యవలసి వచ్చినప్పుడు హడూప్‌లో వందల కొద్దీ కలశాలని ఉపయోగించి పని చేయిస్తారు.

చిన్న ఉదాహరణ ఇస్తాను. ఆంధ్ర ప్రదేశ్ జనాభా ఎంతో కనుక్కోవాలని ఉందనుకుందాం. ఒక గుమస్తాకి ఈ పని అప్పజెబితే ఈ పని అవకుండానే ఆ గుమస్తా ఆయువు నిండిపోతుంది. అందుకని జిల్లాకి ఒక అధికారిని నియమించి ప్రతి జిల్లా జనాభా కనుక్కోడానికి నిశ్చయిద్దాం. పదమూడు జిల్లాలలోను పని ప్రారంభం అయింది. ఇలా జిల్లాలవారీగా పనిని ముక్కలుగా చేసి  పంపిణీ చెయ్యడాన్ని “మేపింగ్” (mapping) అంటారు. ప్రతి జిల్లా నుండి జనాభా లెక్కల నివేదికలు, ఒకటీ, ఒకటీ వస్తాయి. అన్ని నివేదికలూ వచ్చే వరకు ఆగి, వాటన్నిటిని కలిపే యంత్రాన్ని “రెడూసర్” అంటారు.

టూకీగా అదీ "మేప్‌రెడూస్” అంటే! పరిచారికనీ, మేప్‌రెడూస్‌నీ కలిపి హడూప్ అంటారు.

హడూప్ అంటే ఏమిటి?

హడూప్ అంటే ఏమిటి?

గత (June 2016) బ్లాగులో “భారీ దత్తాంశాలు” (బిగ్ డేటా) అంటే ఏమిటో చెప్పేను.

అంతకు ముందు – October 2015 బ్లాగులో – పరిచారికలు (సెర్వర్స్) అంటే ఏమిటో చెప్పేను. ఇప్పుడు హడూప్ అంటే ఏమిటో – టూకీగా – తెలుసుకుందాం.

హడూప్ గురించి తెలుసుకోవాలంటే అది నెరవేర్చే రెండు ముఖ్యమైన పనుల మీద దృష్టి కేంద్రీకరించాలి: ఒకటి, హడూప్ దస్త్రాలని నిల్వ చేస్తుంది. రెండు, హడూప్ దస్త్రాలలో ఉన్న దత్తాంశాలతో కలనం చేసి వచ్చిన సమాధానాన్ని నిల్వ చేస్తుంది.

ఈ రెండు పనులూ మన ఇళ్లల్లో ఉన్న కంప్యూటర్లు కూడా చేస్తాయి. హడూప్ ప్రత్యేకత ఏమిటి?

మన దగ్గర పెద్ద – పేద్ద – దస్త్రం ఉందనుకుందాం. ఎంత పెద్దది? మన కంప్యూటరులో పట్టనంత పెద్దది. అంత పెద్దది కనుక అది మన కంప్యూటరులో ఉన్న కోష్ఠం (store) లో ఇమడదు. అప్పుడు మనకి హడూప్ కావలసి వస్తుంది. హడూప్ లో పెద్ద పేద్ద దస్త్రాలని సునాయాసంగా దాచుకోవచ్చు. అంతే కాదు. ఇలాంటి పెద్ద పేద్ద దస్త్రాలని – ఒకటి కాదు – చాలా దాచవచ్చు.

అంతేనా?

కాదు. హడూప్ కథ ఇంకా ఉంది. ఇలా హడూప్ లో దాచుకున్న పెద్ద పేద్ద దస్త్రాలలో ఉండే దత్తాంశాలతో కలనం చెయ్యవలసి వచ్చినప్పుడు ఏమి చేస్తాం? ఈ దస్త్రాలని చిన్న చిన్న ముక్కలుగా కత్తిరించి, మన కంప్యూటరులోకి దింపుకుని కలనం చెయ్యవచ్చు. ఇంత పెద్ద దస్త్రాలని అంతర్జాలం ద్వారా దింపుకుందుకి చాల సమయం కావాలి కదా. కనుక పని జరగడానికి ఎంతో సేపు పట్టడమే కాకుండా ఈ దత్తాంశ రవాణాకి బోలెడు ఖర్చు అవుతుంది. అందుకని కలనం చెయ్య గలిగే స్థోమతని దత్తాంశాలు ఎక్కడ ఉంటే అక్కడికే తీసుకెళితే? హడూప్ ఈ పని కూడ చేస్తుంది. ఇలా కలనం చెయ్యగలిగే స్థోమతని దత్తాంశాల దగ్గరకే తీసుకెళ్లడం అనేది “మేప్‌రెడుస్” అనే భాగం చేస్తుంది.

కనుక హడూప్ అంటే పెద్ద దస్త్రాలని దాచుకోడానికి వీలుగా నిర్మించిన పెద్ద పరిచారకి, ఆ దత్తాంశాలతో జోరుగా, సమర్ధవంతంగా కలనం చెయ్యడానికి వీలయిన కలన కలశం. ఈ ప్రత్యేక లక్షణాలు ఉన్న పరిచారికని "హడూప్ ఫైల్ సర్వర్" (HDFS) అంటారు. ఈ ప్రత్యేక కలన కలశాన్ని "మేప్ రెడ్యూస్" (MapReduce) అంటారు. ఈ రెండింటిని కలిపి హడూప్ (Hadoop) అంటారు.

ఈ "హడూప్" అన్న మాటకి ప్రత్యేకం ఏమీ అర్థం లేదు. హడూప్ నిర్మాణశిల్పానికి రూపు దిద్దిన ఆసామీ ఇంట్లో పిల్లలు ఆడుకునే, ఏనుగు ఆకారంలో ఉన్న, ఒక ఆటబొమ్మ పేరు హడూప్. అందుకనే హడూప్ వ్యాపార చిహ్నం కూడ ఏనుగే.

బిగ్ డేటా అంటే ఏమిటి? ఎందుకీ హడావిడి?

మనం మన చేత్తో చేసుకోగలిగే పనులు చిన్న పనులు: ఇంట్లో వంట వండుకోవడం, గిన్నెలు కడుక్కోవడం, ఇల్లు శుభ్రం చేసుకోవడం, వగైరాలు. మన శక్తికి మించిన పని ఎదురైతే అది భారీ పని అని చెప్పి పని మనుష్యులకి పురమాయించి చేయించుకుంటాం. ఇంకా పెద్ద పని అయితే కంట్రాక్టరుకి ఇస్తాం. అదే విధంగా మన కంప్యూటరు చెయ్యగలిగే పనులన్నీ చిన్న పనులే. మన కంప్యూటరులో పట్టనంత పెద్ద పని అయినా, మన కంప్యూటరు స్థోమతకి మించి ఎక్కువ జోరుగా పని చెయ్యవలసినా దానిని భారీ పని అంటాం. ఇంగ్లీషులో  ఈ రకం భారీతనాన్ని “బిగ్ డేటా” అనే విశేషణంతో సూచిస్తారు. 

బిగ్ డేటా అనేది సాపేక్ష భావం. పూర్వం, అనగా 1980 దశకంలో, నేను పని చేసిన. కంపెనీలో వాడే కంప్యూటరులో ప్రాథమిక కోష్ఠం (RAM) 4 మిలియన్ల బైట్లు (4 MB), ద్వితీయ శ్రేణి కోష్ఠం (hard disk) 400 మిలియను బైట్లు (400 MB) ఉండేవి. ఒక దశాబ్దం గడిచి 1990 లో నా బల్ల మీద ఉన్న కంప్యూటరులో ప్రాథమిక కోష్ఠం (RAM) 64 మిలియన్ల బైట్లు (64 MB), ద్వితీయ శ్రేణి కోష్ఠం (hard disk) 2 బిలియను బైట్లు (2 GB) ఉండేవి. మరొక రెండు దశాబ్దాలు గడచిన తరువాత, 2015 లో, నా బల్ల మీద ఉన్న కంప్యూటరులో ప్రాథమిక కోష్ఠం (RAM) 4 బిలియన్ల బైట్లు (4 GB), ద్వితీయ శ్రేణి కోష్ఠం (HD) 1 ట్రిలియను బైట్లు (1 TB) ఉంటున్నాయి. అంటే పూర్వం “భారీ డేటా” అనుకున్నదే  ఈ నాడు సీదా, సాదా  అయిపోయింది!

ఇప్పుడు G-mail, Facebook, మొదలైన అనువర్తనాలు విస్తారంగా వాడుకలోకి వచ్చిన తరువాత ఈ దత్తాంశ ప్రవాహం వెల్లువ అయి మనని ముంచెస్తున్నాది. రోజు రోజుకీ పాపం పెరిగినట్లు ఈ దత్తాంశ ప్రవాహం పెరుగుతొంది తప్ప ఆగటం లేదు. మనం మన కంప్యూటర్ల స్థోమతని ఎంతకని పెంచగలం? అందుకని పెనుభూతంలా పెరిగిపోతూన్న ఈ ప్రవాహాన్ని వాడుకోడానికి మనకి కొత్త రకం పరికరాలు కావాలి, పాత పరికరాలకి పదును పట్టాలి. ఇదే “బిగ్ డేటా” అంటూ చేస్తూన్న హడావిడి.

బాట్ అంటే ఏమిటి?

ఈ మధ్య శ్రీధర్ దూరవాణిలో పిలచి (నిఝం! కోత కాదు), “మేష్టారూ మీరు లోలకంలో రాసినవన్నీ చదువుతున్నాను. ఈ మధ్య మా కంపెనీలో “బాట్లు” వాడకం గురించి ఆలోచిస్తున్నాము. కొంచెం బాట్ల గురించి రాస్తారా!” అని అడిగేడు. నేను “లోలకం”లో రాయడం మొదలుపెట్టిన తరువాత, “మీరు ఫలానా విషయం మీద రాయండి” అని పిలచి ఒక పాఠకుడు అడగడం ఇది రెండవసారి; మొదటిసారి, ఏళ్ల క్రితం,  రాకేష్ Uncertainty Principle మీద రాయమని అడిగేడు. అదింకా రాయనేలేదు.

చదివేవాడు దొరికేడు కనుక ముందు తెలుగు పాఠంతో మొదలు పెడతాను.

రోబాట్ అనే మాట “హార్డ్‌వేరు” ని ఉద్దేసించిన్నీ, బాట్ అన్న మాట సాఫ్ట్‌వేరుని ఉద్దేసించిన్నీ వాడతారు కనుక రోబాట్ పరిధి వేరు, బాట్ పరిధి వేరు. రోబాట్లు ఇళ్ల్లలో చిన్నా చితకా పనులు చేస్తూ కనిపించవచ్చు, కర్మాగారాల్లో భారీ పనులు చేసే యంత్రాలులా కనిపించవచ్చు. కాని బాట్లు కంప్యూటర్లలో క్రమణికల రూపంలో ఉండే అశరీరమైన శాల్తీలు. వీటి ఉనికి కలనయంత్రాలలోనూ, అంతర్జాలం లోనూ.

రోబాట్ అనే మాట స్లావిక్ భాషా శాఖ నుండి వచ్చింది. ఉదాహరణకి, రష్యా భాషలో “రబోతా” అంటే పని. కనుక పని చేసే యంత్రాన్ని రోబాట్ అన్నారు. ఇక్కడ పని అంటే చాకిరీ. నౌకరీ చేస్తే జీతం ఇస్తారు. ఇంట్లో మనం చేస్తూన్న చాకిరీకి (వంట వండడం, బట్టలు ఉతుక్కోవడం, ఇల్లు ఊడ్చడం, గిన్నెలు కడగడం, వగైరాలు చాకిరీ. దీనికి ఎవ్వరూ జీతం, బత్తెం ఇవ్వరు. నౌకరీ చేసే వ్యక్తిని నౌకరు అన్నట్లే చాకిరీ చేసే యంత్రాన్ని చాకరు అనొచ్చు. "అనొచ్చు" ఏమిటి? "నౌకర్లు, చాకర్లు" అనే పదబంధం వాడుకలో ఉంది కదా? కనుక తెలుగులో చాకరు అంటే ఇంగ్లీషులో రోబాట్.


“బాట్” అనే ఇంగ్లీషు మాట “రోబాట్” తల నరకగా వచ్చింది.  తలని నరికెస్తే మిగిలిన మొండెం ఏ తెలివినీ ప్రదర్శించలేదుకదా! అందుకని మనం "చాకిరీ" తోక నరికి తల అట్టేపెట్టుకుని, బాట్ కి తెలుగులో "చాకి" అని పేరు పెడదాం. చాకరు కి ఒక వ్యక్తిత్వం ఇచ్చి, మానవుడి ఆకారం ఇచ్చి ఎలా ఊహించుకుంటున్నామో అదే విధంగా "చాకి" కి కూడ ఒక వ్యక్తిత్వం ఇచ్చి, ఆకారం లేని మనిషిగా, అనగా అశరీరి గా, ఊహించుకోవచ్చు.


ఇప్పుడు బాట్ (bot) లేదా “చాకి” గురించి మరికొంచెం ఆలోచిద్దాం. మనుష్యులకి వెగటు పుట్టించే, బోరు కొట్టించే, అలసట పుట్టించే, ఎక్కువగా బుర్ర ఉపయోగించవలసిన  అవసరం లేకుండా, చెయ్యవలసిన పనులు ఎన్నో ఉంటాయి కదా? ఈ రకం పనులని, తనంత తానుగా, చేసుకుంటూ పోయే సాఫ్ట్‌వేరు ని ఇంగ్లీషులో బాట్ అనిన్నీ, తెలుగులో చాకి అనిన్నీ అంటారు. ఇలా పని చేసుకుంటూ పోయేదానిని ఒకానొకప్పుడు “ప్రోగ్రాం” (క్రమణిక) అనేవారు. ఈ మాట పాత చింతకాయ పచ్చడిలా తయారయేసరికి దాని పేరు మార్చి కొన్నాళ్లు API అన్నారు. వాడగా వాడగా అది కూడ మొహం మొత్తి, మెరుపు తగ్గింది. అందుకని ఆ పాత సారాని కొత్త సీసాలో పేసి, పేరు మార్చి, బాట్ (చాకి) అంటున్నారు. పూర్వపు ప్రోగ్రాములు మరీ మొద్దు రాచ్చిప్పల లాంటివి అనుకుంటే నేటి బాట్లు కాసింత తెలివి మీరిన ఘటాలు. పాతకాలపు క్రమణికలకి  చెయ్యవలసిన పని అంతా విడమర్చి, అరటిపండు ఒలిచి నోట్లో పెట్టినట్లు, చెప్పవలసి వచ్చేది. ఇప్పుడో? ఈ పిదప కాలపు చాకిలు చూసి రమ్మంటే కాల్చి వచ్చే రకాలు; కాసింత చెబితే చాలు, మిగిలినదంతా వాటంతట అవే నేర్చేసుకుంటున్నాయి. అంటే ఈ చాకిలలో  కృత్రిమ మేథని జొప్పించి, దరిదాపు మనుష్యుల్లా ప్రవర్తించేలా చేస్తున్నారు.  ఈ రోజుల్లో ఉన్న కొన్ని చాకీలని ఉదహరిస్తాను.

(1) విరామ స్థానాలు సరి చేసే చాకి: మనందరికీ భాషలో పాండిత్యం ఉండదు. రాసినప్పుడు చుక్క,  కామా, కుండలీకరణాలు, కొటేషన్ మార్కులు ఎలా పెట్టాలో అందరికీ తెలియదు. కొందరు వాక్యం అయిపోయిన తరువాత ఒక ఖాళీ వదలి అప్పుడు చుక్క పెడతారు. అది తప్పు; వాక్యం అయిన వెంటనే పెట్టాలి. తెలుగు వికీపీడియాలో ఈ తప్పు తరచు కనిపిస్తూ ఉంటుంది.  ఎంతమందికి ఎన్ని సార్లు చెప్పినా ఎవ్వరూ వినిపించుకోరు; పైపెచ్చు చెప్పినవాడి మీద కోపం వస్తుంది. అందుకని ఈ తప్పుని సవరించడానికి ఒక క్రమణిక రాయొచ్చు. ఈ క్రమణికనే చాకి (bot) అంటారు. ఇది అంతర్జాలంలో ఉన్న తెలుగు వికీపీడియాలోకి వెళ్లి, ఎక్కడైతే ఈ తప్పు కనిపిస్తుందో చూసి, ఆ పుటని బయటకి లాగి, తప్పుని సవరించి, మళ్లా ఉండవలసిన చోట ఆ పుట్టని పెట్టేస్తుంది. ఈ పని ఎన్ని వందల సార్లు అయినా విసుగు, విరామం లేకుండా చేస్తుంది. ఈ కార్యక్రమంలో "తప్పు సవరించడం" అనే భాగాన్ని ఒక బొమ్మ రూపంలో చూపెడుతున్నాను: పేజీని చదవడం (read), తప్పు ఎక్కడ ఉందో పట్టడం (calculate), దొరికిన తప్పుని సవరించడం (edit). ఈ మూడు భాగాలూ బాట్ చేస్తుంది.

బొమ్మ: తప్పులని సవరించే బాట్ చేసే మూడు ముఖ్యమైన పనులు 

కాని, వికీపీడియాలో ఉన్న పేజీని బయటకి లాగడం, పని అయిపోయిన తరువాత ఆ పేజీని మళ్లా లోపల యథా స్థానంలో పెట్టడం అనే పనులని మరొక క్రమణిక చూసుకుంటుంది. ఈ రకం క్రమణికని ముద్దుగా ఎపీఇ (API లేదా Application Program Interface) అంటారు. ఈ రకం API లు చాల ఉన్నాయి. ఉదాహరణకి Mediawiki API (api.php) అనే గ్రంథాలయం (library) లో రకరకాల అవసరాలకి పనికొచ్చే క్రమణికలు దొరుకుతాయి.

(2) మరొక ఉదాహరణగా  ప్రశ్నలకి సమాధానాలు చెప్పే  “చాకి” ని ఇంగ్లీషులో ఛాట్‌బాట్ (chatbot) అంటారు. ఛాట్ అంటే బాతాకానీ. ఇటువంటి "బాతాచాకీ"లు మనందరికీ తారసపడుతూనే ఉంటాయి. విమానం (లేదా రైలు) ఎంత ఆలశ్యంగా నడుస్తూందో కనుక్కోవలసి వచ్చినప్పుడు కాని, బేంకులో డబ్బు నిల్వ ఎంతుందో కనుక్కోవలసినప్పుడు కాని, మనం అడిగే ప్రశ్నలకి సమాధానాలు చెప్పడానికి జీతం ఇచ్చి మనిషిని పెట్టుకుంటే తడిపి మోపెడు అవుతుంది. ఈ రకం పనులు చెయ్యడానికి ఒక "చాకీ" చాలు. వీటితో బాతాకానీ కొడుతూన్నప్పుడు అవతల మనిషి ఉన్నట్లే మనకి అనిపిస్తుంది - కాని సర్వసాధారణంగా అవతల మనతో మాట్లాడేది ఒక ప్రోగ్రాము మాత్రమే! అదే "బాట్" అంటే.

మేఘ కలనం

నన్నడిగితే కంప్యూటర్  రంగంలో ఉన్న వాళ్లంతా సంస్కృతం నేర్చుకుని కాళిదాసు రాసిన రఘువంశం చదవాలంటాను. కనీసం అందరూ మొదటి శ్లోకం చదివి, అర్థం ఒంటబట్టించుకుని ఉండుంటే  మనందరం  ఇటివల కాలంలో పడుతూన్న యమయాతన తప్పేది అంటాను. లేకపోతే ఏమిటి చెప్పండి? నేతిబీరకాయలో నెయ్యి ఎంత ఉందో  మేఘ కలనం (క్లౌడ్ కంప్యూటింగ్, cloud computing) లో మేఘాల పాత్రా అంతే ఉంది.

ఇంతకీ కాళిదాసు ఏమన్నాడో చెప్పనియ్యండి.

వాగర్థావివ సంపృక్తౌ వాగర్థ ప్రతిపత్తయే | జగతః పితరౌ వందే పార్వతీ పరమేశ్వరౌ ॥

ఈ శ్లోకానికి ఎక్కువ ప్రాచుర్యంలో ఉన్న అర్థం:  “పార్వతీ పరమేశ్వరులు ఎలా విడదీయరాని బంధంతో (అర్థనారీశ్వర రూపంలో) ఉన్నారో అదే విధంగా మాటకి (వాక్కుకి), దాని అర్థానికి విడదీయరాని బంధం ఉండేలా చూడు నాయనా” అని ప్రార్థిస్థున్నాడు.

కంప్యూటర్ రంగంలో పని చేసేవారు కూడ “మేము మాట్లాడే మాటకి, దాని అర్థానికి కాసింత అయినా సంబంధం (some బంధం) ఉండేటట్లు చూడు మహానుభావా!” అని ప్రార్థించి ఉండుంటే మనకి ఈ తిప్పలు ఉండేవి కావు. అందుకనే “నేతిబీరకాయలో నెయ్యి ఎంత ఉందో  మేఘ కలనంలో మేఘాలు కూడ అన్నే ఉన్నాయని విన్నవించుకుంటున్నాను.

మరయితే ఈ  పేరు ఎలా వచ్చింది? చిన్న ఉపమానం చెబుతాను. ఏదో ఒక యంత్రం నిర్మించే ప్రయత్నంలో ఉన్నామనుకుందాం. మన ఊహ మరొకరికి చెప్పడానికి కాగితం మీద రకరకాల పళ్ల చక్రాలు గీసి వాటి చుట్టూ ఒక సున్నా చుట్టి పక్కన పెట్టేం అనుకుందాం. ఆ చుట్టూ చుట్టిన సున్న ఒక మేఘంలా ఉంటుంది కదా (బొమ్మ చూడండి). కనుక అందాకా ఆ యంత్రాన్ని  “మేఘ యంత్రం" అని మనం పిలవచ్చు. మేఘ కలనం అన్న పదబంధం అలానే పుట్టింది. మన ఆలోచనలోఉన్న కలన యంత్రాల భాగాలన్నిటిని ఒక చోట చేర్చి, వాటి చుట్టూ ఒక సున్నా చుట్టి, ఆ సున్నాలో ఉన్న కలన యంత్రాంగాన్ని అంతటినీ కలిపి మేఘం అనడం మొదలు పెట్టేరు.

బొమ్మ. ఒక యంత్రం రూపకల్పన చేస్తున్నప్పుడు చిత్తుగా గీసుకున్న “మేఘ యంత్రం" బొమ్మ.

ఇంతకీ మేఘ కలనం అంటే ఏమిటి? నా చిన్నతనంలో మా ఊళ్లో ఒక టూరింగు  టాకీస్ ఉండేది. దానిని నడపడానికి పాక లాంటి కట్టడం వెనక ఒక డైనమో ఉండేది. ఊళ్లో విద్యుత్ సరఫరా ఉన్నా, లేకపోయినా ఆ సినిమా హాలులో ఎప్పుడూ విద్యుత్తు ఉండేది. మా స్నేహితులొకరు - కొంచెం సామంతులు - పెరట్లో డైనమో పెట్టుకుని ఇంట్లో విద్యుత్ దీపాలు వెలిగించుకునేవారు. పెరట్లో స్వంత  డైనమో పెట్టుకునే తాహతు లేక మేము ఊళ్లోకి కరెంటు వచ్చే వరకు ఆగవలసి వచ్చింది. ఇదే విధంగా అందరూ స్వంతంగా కంప్యూటర్లు కొనుక్కోలేకపోవచ్చు. కొనుక్కున్నా కావలసిన హంగులన్నీ ఆ కంప్యూటరులో ఉండకపోవచ్చు. ఉన్న హంగులన్నీ మన అవసరాలకి పనికిరాకపోవచ్చు. నిజానికి మన ఇళ్ళల్లో ఉండే ఉరోపరు (laptop) లలో ఉన్న హంగులలో 10 శాతం వాడతామేమో. మిగిలిన హంగుల మీద  అనవసరంగా డబ్బు తగలేస్తున్నామేమో.  అవసరం మేరకి విద్యుత్ శక్తిని వాడుకున్నట్లే అవసరం మేరకి మాత్రమే కలన శక్తిని వాడుకుంటేనో. అప్పుడు పెరట్లో ఖరీదైన డైనమో పెట్టుకున్నట్లు ప్రతి ఇంట్లోనూ ఖరీదైన కంప్యూటరు అక్కరలేదు. విద్యుత్తుని వాడుకున్నట్లే “యూనిట్” కి ఇంత అని జమ కట్టి కలన శక్తిని కూడ వాడుకోవచ్చు కదా. అప్పుడు కంప్యూటరు ఒక్కంటికి రెండు వేల డాలర్లు (లక్ష రూపాయలు) చొప్పున గుమ్మరించి మదుపు పెట్టక్కర లేదు. అవసరం వచ్చినప్పుడు దీపం  వేసుకుని, అవసరం తీరిపోగానే దీపం ఆర్పేసినట్లు అవసరం ఉన్నప్పుడే కలన శక్తిని వాడుకునే సదుపాయం ఉంటే దానిని మేఘ కలనం అంటారు. ఈ  సందర్భంలో కంప్యూటరు ఎక్కడ ఉంది? ఎక్కడో ”మేఘం” లో ఉంది అంటారు. అంటే, కంప్యూటరు ఎక్కడుందో అనే ప్రస్తావన మనకి అనవసరం! ఎక్కడో ఉన్న కలన సదుపాయాలని మనం అంతర్జాలం ద్వారా అందుకుని వాడుకుంటాం. ఇలా ఎక్కడో ఉండి మనకి పరిచర్యలు చేసే కంప్యూటర్ ని పరిచారిక (server) అంటారు. ఈ  రకం పరిచారికల గురించి గతంలో ఒక బ్లాగులోచర్చించేను.

కనుక మేఘ కలనం అంటే ఏమిటి? అంతర్జాలంలోఎక్కడో ఉన్న పరిచారికల గుంపు  (group  of servers) ని ఉమ్మడిగా ఉపయోగించుకుంటూ అనేకులు  కలన కార్యక్రమాలని కొనసాగించే వెసులుబాటు ఉన్న పద్ధతి. ఈ  పద్ధతి అప్పుడే మనం వాడుకుంటున్నాం. ఇ-టపా, డ్రాప్ బాక్స్, గూగుల్ డ్రైవ్ వంటి సదుపాయాలు మనలోచాలమందికి తెలుసుకదా. ఇవన్నీ మేఘ కలనానికి ఉదాహరణలే.

రామానుజన్ నుండి ఇటూ, అటూ

కినిగే ప్రచురణ సంస్థ (kinige.net) ప్రచురించి, ఉచితంగా పంపిణీ చెయ్యబోతూన్న ఈ పుస్తకం అంకెల గురించి, సంఖ్యల గురించి నేను రాసిన ఇ-పుస్తకం. ఇందులోని అధ్యాయాలు చాలమట్టుకు, ఒకప్పుడు, ఈమాట జాలపత్రికలో ప్రచురణ పొందినవే!

సంఖ్యా జ్ఞానం, సంఖ్యా గణితం నలుగురికీ అందుబాటులోకి తీసుకురావాలని చేసిన ప్రయత్నం ఇది. అంకెలతోను, సంఖ్యలతోను  ఆడుకోవడమే ఈ  పుస్తకం ముఖ్యోద్దేశం. గణితంతో కొద్దిపాటి పరిచయం ఉన్న వారికి కూడ అందుబాటులో ఉండాలనే గమ్యంతో చేసిన ప్రయత్నం ఇది. గణితంలో నిష్ణాతుల ఆక్షేపణలకి గురి కాకూడదనేది కూడ ఒక గమ్యమే.

ఇలా సంఖ్యలతో చెలగాటాలు ఆడిన వారిలో అగ్రగణ్యుడు శ్రీ శ్రీనివాస రామానుజన్! ఈయన మన అదృష్టం  కొద్దీ భారతదేశంలో పుట్టేడు; మన దురదృష్టం కొద్దీ అతి చిన్న వయస్సులోనే స్వర్గస్తుడయాడు. అయన ప్రతిభకి ప్రపంచంలో గుర్తింపు వచ్చిన తరువాత పట్టుమని అయిదేళ్లయినా బతకలేదు. ఈ అత్యల్పకాలంలో ఆయన మహోన్నతమైన శిఖరాగ్రాలని చేరుకున్నాడన్న విషయం ఆయన మరణించి దశాబ్దాలు గడచిన తరువాత కాని పండితులకే అవగాహన కాలేదు - పామరుల సంగతి సరేసరి! రామానుజన్ ప్రతిభని మొట్టమొదట గుర్తించిన హార్డీ అంటారు: “ఒక కొలమానం మీద నా ప్రతిభ 25 అయితే, అదే కొలమానం మీద నా సహాధ్యాయి లిటిల్వుడ్ ప్రతిభ 30 ఉండొచ్చు. అదే కొలమానం మీద డేవిడ్ హిల్బర్ట్ ప్రతిభ 50 ఉంటుంది, రామానుజన్ ప్రతిభ 100 ఉంటుంది.” ఈ జాబితాలో పేర్కొన్న నలుగురు వ్యక్తులూ గణిత ప్రపంచంలో హేమాహేమీలే!

ఈ  పుస్తకం రామానుజన్ జీవిత చరిత్ర కాదు - అది చాల చోట్ల ఉంది. కొంతవరకు ఇది అయన గణితం గురించి. కొమ్ములు తిరిగిన వారు కూడ ఏళ్ల తరబడి శ్రమిస్తేకాని అయన “నోటు పుస్తకాలు” లో రాసుకున్న “ఫార్ములాలు” అర్థం చేసుకోలేకపోతున్నారు. అయన చేసిన పని మనకి అర్థం కాదని  ఎన్నాళ్ళిలా ఊరుకుంటాం? అందుకని నాకు  తోచిన ప్రయత్నం నేను చేసేను. ఎలా చేసేను? గణితశాస్త్రంలో తారసపడే కొన్ని అంశాలు - నాకు అర్థం అయినవి - తీసుకుని వాటిల్లో రామానుజన్ పాత్ర ఏమిటో సందర్భం దొరికినప్పుడల్లా స్థూలంగా పరిశీలించేను. ఈ పుస్తకంలో ఉన్న ప్రతి  అధ్యాయం లోనూ  రామానుజన్ కనిపించకపోవచ్చు. కొన్ని అంశాలు రామానుజన్ ముందు కాలంలో జరిగినవి, కొన్ని తరువాత కాలంలో జరిగినవి. అందుకనే పుస్తకానికి “రామానుజన్ నుండి ఇటూ, అటూ” అని పేరు పెట్టేను.

రామానుజన్ చేసిన పని అంతా బయటి గణిత ప్రపంచంతో సంబంధం లేకుండా తనంత తానుగా నిర్మించుకున్న భవనం. అయన సాధించిన ఫలితాలలో అక్కడక్కడ తప్పులు లేకపోలేదు. రామానుజన్ ఆవిష్కరించిన ఫలితాలు కొన్ని గణిత ప్రపంచంలో ఉన్న నిష్ణాతులకి అప్పటికే  తెలుసు;  కాని ఆ విషయం రామానుజన్ కి తెలియదు. కనుక “ఎవరు ముందు?” అనే ప్రశ్న ఉదయించినప్పుడు ఏ గురువు లేకుండా, ఏ పుస్తకాలు లేకుండా తనంత తానుగా నేర్చుకున్న రామానుజన్ కి కొంత ఘనత ఇవ్వక తప్పదు. రామానుజన్ ప్రతిభని మరి కొంచెం ముందుగా గుర్తించి ఆయనకి తగిన శిక్షణ ఇప్పించి ఉండుంటే అయన ప్రభావం నేటి తరం మీద ఇంకా గట్టిగా పడి ఉండేది.

రామానుజన్ ప్రతిభ గణితంలో అనేక శాఖలలో కనిపిస్తూ ఉంటుంది. వాటన్నిటిని సమగ్రంగా పరిశీలించడానికి ఇది అనువైన స్థలం కాదు. స్థాలీపులాక న్యాయంలా ఏవో నాలుగు మెతుకులు చిదిమి చూపిస్తాను. ఈ  పుస్తకం చదివిన తరువాత రామానుజన్ చేసిన పని మీద కొంతైనా కుతూహలం పుడుతుందనే నా ఆశ. గణితంలో ప్రవేశం ఉన్న వారు పుస్తకంలో అధ్యాయాలని ఏ వరుస క్రమంలో చదివినా పరవా లేదు. గణితంలో కుతూహలం ఉండి నేర్చుకోవాలనే సద్యోజాత ఆసక్తి ఉన్నవారు మాత్రం నేను అమర్చిన క్రమంలో చదివితే మార్గం సుగమం అవుతుంది.

ఈ  పుస్తకం ముఖచిత్రం  

రామానుజన్ మరణ శయ్య మీద పరుండి కనిపెట్టిన “మాక్ తీటా ఫంక్షన్” ని కప్యూటర్ సహాయంతో చిత్రిస్తే ఈ విధంగా ఉంటుంది. త్రిగుణమాత్రకంలో వచ్చే సైను, కోసైను లా ఇది కూడ ఒక రకమైన ఆవర్తన లక్షణం ప్రదర్శించడమే కాకుండా వాటి కంటె ఎక్కువ వ్యాపకత్వం కలది కనుక దీని ఉపయోగం ఆధునిక భౌతిక శాస్త్రంలో ఎక్కువ ఉంటుందని భావిస్తున్నారు.