Friday, July 1, 2011

12. ఈ విశ్వం ఏ ఆకారంలో ఉంది? –రెండవ భాగం

విశ్వస్వరూపం (గత సంచిక తరువాయి)

12. ఈ విశ్వం ఏ ఆకారంలో ఉంది? –రెండవ భాగం

వేమూరి వేంకటేశ్వరరావు

1. నూటన్ సౌధానికి పడ్డ బీటలు

క్రీ. పూ. మూడవ శతాబ్దం నుండి సా. శ. పదిహేడవ శతాబ్దానికి వద్దాం. గెలిలియో దూరదర్శినితో ఆకాశంలోకి చూసిన తరువాత మన దృక్పథమే పూర్తిగా మారిపోయింది. అటు తరువాత నూటన్ వచ్చి ఈ విశ్వాన్ని అనంతమైనదిగా ఉహించుకున్నాడు. అంతే కాకుండా నూటన్ తన సిద్ధాంతాలన్నిటికీ ఆసరాగా ఈ అనంతమైన విశ్వం బల్లపరుపుగా ఉన్నాదని ఊహించుకున్నాడు. ఈ నమ్మకంతోటే నూటన్ తన సిద్ధాంత సౌధాన్ని యుకిలిడ్ నిర్మించిన క్షేత్రం మీద నిర్మించేడు. యూకిలిడ్ క్షేత్రం బల్లపరుపుగా ఉంది కనుక నూటన్ ఊహించుకున్న విశ్వం కూడ బల్లపరుపుగానే ఉందని మనం అనుకోవచ్చు కదా?

నూటన్ తను నిర్మించిన "మేడ" బీటలుదేరి కూలిపోబోతున్నాదని కలలో కూడ అనుకొని ఉండడు: రెండు శతాబ్దాలైనా తిరగకుండానే విశ్వాకారం యూకిలిడ్ క్షేత్రంలా బల్లపరుపుగా లేదని తేలిపోయింది, ఆ విశ్వంలో అనువర్తించే చలన సూత్రాలు నూటన్ ఉద్ఘాటించినట్లు కాక వాటికి కొద్ది కొద్ది మార్పులు చెయ్యవలసి ఉంటుందనీ తేలిపోయింది.

నూటన్ నిర్మించిన సౌధం ఇలా కూలిపోవటానికి కారణం రెండు పెడల నుండి జరిగిన దాడి. ఒక పెడ నుండి యూకిలిడ్ నమ్ముకున్న "విస్పష్ట సత్యాలు" విస్పష్టమూ కాదు, సత్యమూ కాదు" అని ఆక్షేపణ వచ్చింది. ఈ ఆక్షేపణకి సారధ్యం వహించినది రష్యా దేశపు నికొలాయి లొబచేవ్స్కీ మరియు హంగరీ దేశపు యానోస్ బోల్యాయీ. రెండవ పెడ నుండి జరిగిన దాడి విశ్వాకారం "యూకిలిడ్ క్షేత్రం" లా ఉంటుందనే నూటన్ నమ్మకం మీద. ఈ దాడికి సారధి జెర్మనీ దేశస్తుడైన బెర్నార్డ్ రీమాన్.

తన మనోభావాలనీ, సిద్ధాంతాలనీ రీమాన్ ఎలా ప్రభావితం చేసేడో అయిన్స్టయిన్ ఇలా చెబుతాడు: "...రీమాన్ ఏకాకిలా జీవితం గడుపుతూ ఎవ్వరికీ అర్ధంకాకుండా ఉండిపోయినా, విశ్వాకారానికి రూపులు దిద్దటంలో అతని మేధోత్పత్తి విజ్ఞుల హృదయాలని జయించింది...". ఈ ప్రశంసకి ప్రేరణ కారణం 28 ఏళ్ళ రీమాన్ గూటింజన్ విశ్వవిద్యాలయంలో ఉద్యోగం కోసం వెళ్ళినప్పుడు "క్షేత్రగణితపు ప్రాతిపదికల పై వ్యాఖ్యానం" అన్న అంశం పై ఇచ్చిన ప్రసంగం. ఈ ప్రసంగంలో రీమాన్ ఎన్నో కొత్త పుంతలు తొక్కుతూ ఎన్నో కొత్త భావాలని ప్రవేశపెట్టేడు; "స్థలం" (space) లేదా "అంతరాళం" అన్న మాటకి కొత్త భాష్యం చెప్పేడు.

యూకిలిడ్ క్షేత్రగణితానికి కొలబద్ద, వృత్తలేఖిని ఉపయోగించి బల్లపరుపు కాగితం మీద గీసే బొమ్మలు మౌలికాంశాలు. రీమాన్ ఈ పాత భావాలని, పాత పదజాలాన్ని, కాగితాల మీద గీసే బొమ్మలనీ పక్కకి తోసి సరికొత్త పద్ధతిలో, సరికొత్త పదజాలంతో సరికొత్త క్షేత్రగణితాన్ని నిర్మించేడు. రెండు దిశలలో మాత్రమే వ్యాప్తి చెందిన బల్లపరుపు ప్రదేశం కలిగించే సంకెళ్ళని సడలించి ఈ సరికొత్త క్షేత్రగణితం కొత్త భవనానికి పునాదులు వేసింది. రీమాన్ ప్రవేశపెట్టిన కొత్త పదజాలంలో మొదటిది "మేనిఫోల్డ్" (manifold). మేనిఫోల్డ్ అంటే మరేమీ కాదు - అదొక బిందువుల సమూహం; మనకి ఇంతవరకు పరిచయమయిన ఆకారాలతో నిమిత్తం లేకుండా ఈ బిందు సమూహాన్ని ఊహించుకొండి. ఒక క్షేత్రంలో ఒక బిందువు ఎక్కడ ఉందో తెలియచెయ్యటానికి కొన్ని సంఖ్యలు వాడతాం కదా. ఉదాహరణకి విశాఖపట్నం ఎక్కడుందో చెప్పాలంటే దాని అక్షాంశం, రేఖాంశం చెబితే సరిపోతుంది. ఎవరెస్టు శిఖరం ఎక్కడుందంటే దాని అక్షాంశం, రేఖాంశం, ఎత్తు అనే మూడు లక్షణాలు చెబితే సరిపోతుంది. "ఒక బిందువు ఉనికిని వర్ణించటానికి, గణితశాస్త్రం దృష్ట్యా, మూడే మూడు లక్షణాలు (లేదా, కొలతలు) ఉండాలనే నిబంధన ఏదీ లేదు, ఎన్ని లక్షణాలు కావలిస్తే అన్ని వాడుకోవచ్చు, అవసరమైతే అనంతమైనన్ని లక్షణాలు (కొలతలు) వాడుకోవచ్చు" అని రీమాన్ అన్నాడు. ఇది గభీమని మింగుడు పడని భావన అయినప్పటికీ చిన్న ఉపమానంతో ఉదహరిస్తాను. ఒక మనిషిని వర్ణించాలంటే పొడుగు, బరువు, మాట్లాడే భాష, శరీరపు ఛాయ, జుత్తు రంగు లక్షణాలు గా వాడి ఆ మనిషిని 5-దిశల క్షేత్రంలో ఒక బిందువుగా చూపవచ్చు. ఈ రకం క్షేత్రంలో ఉన్న బిందుసమూహం పేరు మేనిఫోల్డ్. మనం తెలుగులో "బిందుసమూహం" అనొచ్చు.

రీమాన్ ప్రవేశపెట్టిన రెండవ భావన "మెట్రిక్" (metric), లేదా కొలమానం. యూకిలిడ్ క్షేత్రగణితంలో రెండు బిందువుల మధ్య దూరం కావాలంటే పైథోగరోస్ సిద్ధాంతాన్ని కొలమానంగా ఉపయోగించి లెక్క కడతాం. యూకిలిడ్ గణితంలో కాగితం మీద ఉన్న ఒక బిందువుని వర్ణించటానికి రెండు నిరూపకాలు (co-ordinates) కావాలి. "రెండు బిందువుల x-అంశాల మధ్య దూరం నీ y-అంశాల మధ్య దూరం నీ వర్గీకరించి కలపగా వచ్చిన మొత్తం ఆ రెండు బిందువుల మధ్య దూరపు వర్గానికి సమానం" అన్నది మనందరికి పరిచయమైన పైథోగరోస్ సూత్రం. ఈ సూత్రం రీమాన్ క్షేత్రంలో ఎలా మార్పు చెందుతుందో చూద్దాం. ఉదాహరణకి, రెండు కొలతలు గల రీమాన్ క్షేత్రంలో రెండు బిందువుల మధ్య దూరం యొక్క వర్గం కావాలంటే ఆయా బిందువుల x-నిరూపకాల మధ్య దూరం నీ y-నిరూపకాల మధ్య దూరం నీ వర్గీకరించి, వాటిని ఆ పళంగా కలిపేయకుండా, ఆ వర్గాలని వేర్వేరు నిష్పత్తులలో కలపగా వచ్చిన మొత్తాన్ని ఆ బిందువుల మధ్య దూరంగా నిర్వచించవచ్చు అన్నాడు రీమాన్. (The square of distance between two pints can be defined as the weighted average of the square of the differences between the individual coordinates). ఇది కేవలం "అజహరణ పైథోగరోస్ సిద్ధాంతం" (generalized Pythagoras Theorem) అని గమనించండి.

రీమాన్ ప్రవేశపెట్టిన మరొక రెండు కొత్త భావాలు: ఒంపు లేదా వక్రత (curvature), సంస్తరితం (embedding). యూకిలిడ్ నిర్మించిన ప్రపంచం లో వక్ర రేఖలు (curved lines), వక్ర తలాలు (curved surfaces) ఉంటాయి. వృత్తంలో ఒక భాగమైన చాపం (arc) వక్ర రేఖకి ఒక ఉదాహరణ. గోళం (sphere) యొక్క ఉపరితలంలో ఒక భాగం వక్ర తలం కి ఉదాహరణ. కాని యూకిలిడ్ ప్రపంచంలో "వక్ర స్థలం" (curved space) అనే భావన లేనే లేదు. కాని రీమాన్ ప్రపంచంలో ఎన్ని కొలతలు ఉన్న ప్రదేశంలో అయినా, ఏ బిందు సమూహానికయినా వక్రత (curvature) ఉండొచ్చు; ఒకే ఒక దిశలో వ్యాప్తి చెందిన తీగకి వక్రత ఉండొచ్చు, రెండు దిశలలో వ్యాప్తి చెందిన అప్పడానికి వక్రత ఉండొచ్చు, మూడు దిశలలో వ్యాప్తి చెందిన బంతికి వక్రత ఉండొచ్చు, నాలుగు దిశలలో వ్యాప్తి చెందిన "మరొకదానికి" వక్రత ఉండొచ్చు. ఈ వక్రతని గణితపరంగా తప్ప బొమ్మల రూపంలో ఊహించుకోవటం కష్టం.

రెండు దిశలలో వ్యాప్తి చెందిన పూరీ నూనెలో పడగానే "పొంగటం" ఒక రకమైన వక్రత. ఇలా రెండు దిశలలో వ్యాప్తి చెందిన పూరీ వక్రత చెందినప్పుడు మూడవ దిశలోకి పొంగింది. కనుక రెండు దిశలలో ఉన్న పూరీ పొంగినప్పుడు మనం బల్లపరుపుగా ఉన్న ప్రపంచంలో బంధితులమై ఉండుంటే ఆ పొంగు కనిపించి ఉండేది కాదు; మనం మూడు దిశల ప్రపంచంలో ఉన్నాం కనుక చూడగలుగుతున్నాం. ఇదే విషయాన్ని మరొక విధంగా చెబుతాను. రెండు దిశల ప్రపంచంలో కనిపించని వక్రత వంటి లక్షణాలు కనిపించాలంటే ఆ పూరీ ని మూడు దిశల ప్రపంచంలో సంస్థరించాలి (లేదా embed చెయ్యాలి). ఇప్పుడు పలచగా ఉన్న పూరీ నుండి గుండ్రంగా ఉన్న భూమి మీదకి వద్దాం. భూమి ఉపరితలం కూడ రెండు దిశలలో మాత్రమే వ్యాప్తి చెంది ఉందని మరచిపోకండి - పూరీలా నేలబారుగా కాకుండా ఉబ్బెత్తుగా ఉన్నా, దాని వ్యాప్తి రెండు దిశలలోనే! ఇలా వ్యాప్తి చెందిన భూమి ఉపరితలం మీద ఉన్నంతసేపూ మనకి భూమి గోళాకారం (మూడవ దిశలో చెందిన వ్యాప్తి) అవగాహన కాదు; భూమి ఉపరితలం నుండి పైకి లేచినప్పుడే భూమి గోళాకారం మనకి అవగాహన అవుతుంది.

ఈ కొత్తరకం ఊహలు పరిపూర్ణంగా అర్ధం కావాలంటే గణిత శాస్త్రపు లోతులు అవగాహన చేసుకునే అనుభవం ఉండాలి. యూకిలిడ్ లా కాగితం మీద బొమ్మలు గీసి చూపించటానికి వీలు పడదు. ఇది అర్ధం చేసుకోవటం ఎంత కష్టం అనిపించినా ఒక విషయం మాత్రం మరువకూడదు. విశ్వాకారం అవగాహన కావాలంటే శతాబ్దాలపాటు పాతుకుపోయిన యూకిలిడ్ మార్గం సుగమమైనా ప్రయోజనం లేని మార్గం; ఎంత దుర్గమం అయినా రీమాన్ చూపెట్టిన మార్గమే మనకి శరణ్యం. విశ్వం ఆకారాన్ని సాంతం (finite) అయిన, అపరిమిత (unbounded) క్షేత్రం (field) తో ఒక నమూనాని నిర్మిస్తే అది విశ్వం నిజమైన ఆకారానికి దగ్గరలో ఉంటుంది అని రీమాన్ చెబుతారు. బంతి ఆకారం, లేదా గోళాకారం, మనకి అనుభవంలో ఉన్నదీ, మూడు దిశలలో వ్యాపించినదీ, సాంతం అయినదీ, అపరిమితం అయిన స్థలానికి ఉదాహరణ.

రీమాన్ విశ్వాకారాన్ని వర్ణించటానికి ప్రయత్నం చెయ్యలేదు; మూడు కంటె ఎక్కువ దిశలలో వ్యాప్తి చెందిన స్థలాలని గణితపరంగా వర్ణించేడు, అంతే. ఆ నమూనాని అయిన్స్టయిన్ వాడుకుని నాలుగు కొలతల విశ్వాన్ని నిర్మించేడు.

విశ్వాంతరాళం రీమాన్ చెప్పినట్లు ఒంపు తిరిగి ఉంది అనగానే, యూకిలిడ్ వాడిన బల్లపరుపు క్షేత్రంలా లేదనే కదా! అంటే యూకిలిడ్ సూత్రాలన్నీ ఈ ఒంపు తిరిగిన క్షేత్రం మీద పని చెయ్యవని మనం గ్రహించాలి. ఉదాహరణకి పైథోగరోస్ (భాస్కర) సిద్ధాంతం విశ్వాంతరాళంలో పని చెయ్యదు. ఉదాహరణకి మనం భూమి నుండి 3 జ్యోతిర్వర్షాలు (light years) దూరంలో ఉన్న A అనే క్షీరసాగరం (galaxy) దగ్గరకి వెళ్లి, అక్కడ నుండి కుడి పక్కకి (అంటే 90 డిగ్రీలు అని అన్వయించుకొండి) తిరిగి, 4 జ్యోతిర్వర్షాలు దూరంలో ఉన్న B అనే క్షీరసాగరానికి ప్రయాణం చేసి వెళ్లేం అనుకుందాం. ఇప్పుడు భూమి కీ క్షీరసాగరం B కి మధ్య ఉండే అత్యల్ప దూరం (shortest distance) 5 జ్యోతిర్వర్షాలు ఉంటే, భాస్కర సిద్ధాంతం పని చేసిందనిన్నీ, విశ్వాంతరాళం బల్లపరుపుగా ఉందనిన్నీ మనం తీర్మానించ వచ్చు; అలా కాక పోతే విశ్వాంతరాళం రీమాన్ చెప్పినట్లు ఒంపు తిరిగి ఉందని ఒప్పుకోవాలి.ఈ వక్రత రెండు రకాలు. ఈ దూరం 5 జ్యోతిర్వర్షాలు కంటే తక్కువ ఉంటే ఈ వక్రత ది ధనాకారం (positive curvature) అనిన్నీ, 5 జ్యోతిర్వర్షాలు కంటే ఎక్కువ ఉంటే ఈ అది రుణాకారం (negative curvature) అనిన్నీ అంటారు. యుగాల క్రిందట గ్రీకులు భూమి (యూకిలిడ్ నిర్వచనం ప్రకారం) గోళాకారంలో ఉందని నిర్ధారించినట్లే, ఈ నాడు విశ్వం (రీమాన్ నిర్వచనం ప్రకారం) గోళాకారంలో ఉందని అంటాం.

1 comment:

  1. అమ్మ భాష లో కఠినమైన శాస్త్ర విషయలు సులభతరం గా చెప్తున్నారు. మీ కృషికి నా వందనాలు.

    ReplyDelete