Saturday, December 27, 2008

గణితంలో అర్ధగర్భితమైన శ్లోకాలు

డిసెంబరు 2008

మన దైనందిన జీవితంలో సంఖ్యలని సూచించటానికి జోడీ, పుంజీ, చెయ్యి, పుష్కరం అని వాడినట్లే మన అలంకార, ఛందో తత్వ శాస్త్రాలలో, ఎన్నో సందర్భాలలో, సంఖ్యలని స్పురింప చెయ్యటానికి సంకేతాలు వాడేవారు. ఆకాశం సూన్యానికి సంకేతం. సూర్యుడు, చంద్రుడు, భూమి ఒకటికి సంకేతాలు. నేత్రాలని రెండుకి సంకేతంగా వాడేవారు. ‘హిమకరాంగ వియత్‌శశి’ అన్న సమాసాన్నే తీసుకుందాం. హిమకరుడు చంద్రుడు కనుక ఆ మాట ఒకటికి సంకేతం. అంగాలు ఆరు. వియత్ అనగా ఆకాశం కనుక అది సున్నకి గుర్తు. మళ్ళా శశి అంటే చంద్రుడు కనుక అది మరొక ఒకటి. కనుక ఇంత వరకు 1601 వచ్చేయి, కాని కథ పూర్తి కాలేదు. భాష ని ఎడమ నుండి కుడికి చదువుతాము కాని సంఖ్యల విలువ కట్టవలసి వచ్చినప్పుడు, ‘అంకానాం వామతః గతిః’ అన్నారు కాబట్టి సంఖ్యల విలువ ఎడమకి వెళుతూన్నకొద్దీ పెరుగుతుంది. కనుక ‘హిమకరాంగ వియత్‌శశి’ అనే సమాసాన్ని తిరగేసి రాస్తే 1061 అవుతుంది. ఈలాగే ‘మునివసునిధి’ అంటే 987 అవుతుందని చదువరులే గ్రహించగలరు.

ఇలా అంకెలకి బదులు అక్షరాలు యవనులు కూడ రాసేరు కాని, ఈ పద్ధతిని ఒక పతాక స్థాయికి లేవనెత్తింది భారతీయులే. పెద్ద పెద్ద అంకెలని కుదించి చిన్న చిన్న మాటలలో చెప్పటంలో మన పూర్వులు దిట్టలు. ఇలా సంఖ్యలని కుదించి మాటలలో చెప్పవలసిన అవసరం ఎలా వచ్చిందో వివరిస్తూ శ్రీ రొడ్డం నరసింహ గారు 20-27 డిసెంబరు 2001 సంచిక ‘సైన్సు’ పత్రికలో ఒక వ్యాసం ప్రచురించేరు. దాని సారాంశం ఇక్కడ సంగ్రహ పరుస్తాను.

కాగితాలు, ముద్రణా యంత్రాలు లేని రోజులలో మన విజ్ఞాన సంపదని తరతరాల పాటు కాపాడి మన పూర్వులు మనకి అందించేరు. మరే ‘టెక్నాలజీ’ లేని రోజులలో శాస్త్రాన్ని కంఠతా పట్టటం ఒక్కటే వారికి తెలిసిన మార్గం. మన వర్ణాశ్రమ ధర్మంలో ఇలా కంఠతా పట్టే పనిని బ్రాహ్మణులకి అప్పగించేరు. కొంతమంది బ్రాహ్మణ బాలురు జీవితాంతం చెయ్య వలసిన పని ఇదే. వాళ్ళని ‘లివింగ్ రికార్డర్స్’ అనో, సజీవ గ్రంధాలయాలు అనో అన్నా అది అతిశయోక్తి కానేరదు. వాళ్ళు కంఠస్థం చేసే శ్లోకాలు వారికి అర్ధం అయితే మరీ మంచిది; కాని అర్ధం అవక్కర లేదు. ముద్రాపకుడికి ముద్రించే విషయాలన్నీ అర్ధం అవుతాయా? స్వరం తప్పకుండా, శబ్ద దోషం లేకుండా కంఠతా పట్టటం, తర్వాత అదే విషయం శిష్యులకో, కొడుకులకో నేర్పటం. వీళ్ళు శ్లోకాలు ఇలా వల్లె వేస్తూ కూర్చుంటే కడుపు నిండేదెలా? అందుకని ఈ కంఠోపాఠం చేసే సంప్రదాయాన్ని (‘ఓరల్ ట్రెడిషన్’) ని రక్షించటానికి రాజులు బ్రాహ్మణులని పోషించటం మొదలు పెట్టేరు. ఇలా కొన్ని శతాబ్దాలపాటు ఆక్షేపణ లేకుండా జరిగింది.

తర్వాత తాళపత్రాల మీద ఘంటంతో రాయటం నేర్చుకున్నారు. తాళపత్ర గ్రంధాలతో ‘ఇంటింటా సొంత గ్రంధాలయం’ నిర్మించటానికి అవకాశాలు తక్కువ. కనుక రాత వాడుకలోకి వచ్చిన తర్వాత కూడ కంఠస్థం చెయ్యటం అనే ప్రక్రియ మన విద్యా విధానంలో ఒక ముఖ్యాంశం అయిపోయింది.

వచనాన్ని కంఠస్థం చెయ్యటం కన్న పద్యాన్ని కంఠస్థం చెయ్యటం తేలిక. అందుకనే ఆర్యభట్టు, భాస్కరాచార్యులు మొదలైనవారంతా గణితాన్ని కూడ శ్లోకాలలోనే రాసేరు. జ్ఞాపకం పెట్టుకోడానికి పద్యంలో బిగుతు ఉండాలి. విశాలమైన భావాన్ని క్లుప్తంగా పద్య పాదాలలో ఇరికించగలిగే స్థోమత ఉండాలి. అందుకని మన వాళ్ళు ఒక సంక్షిప్త లిపి (‘కోడ్’) ని తయారు చేసుకున్నారు. గణితశాస్త్రం లోని సునిసితమైన విషయాలని ముందు సంక్షిప్త లిపి లోనికి మార్చి, దానిని చందస్సుకు సరిపడా పద్య పాదం లోనికి ఇరికించేసరికి దాని లోని గూఢార్ధం మనబోటి అర్భకులకి అందుబాటులో లేకుండా పోయింది. అంతే కాని, విద్యని, విజ్ఞానాన్ని రహస్యంగా దాచాలనే దుర్బుద్ధి మన సంస్కృతిలో ఎప్పుడూ, ఎక్కడా లేదు.

మన పురాతన గ్రంధాలలోని మూలభావం కూలంకషంగా అర్ధం చేసుకోవాలంటే వ్యాకరణ సూత్రాలు అర్ధమైనంత మాత్రాన సరిపోదు. వారు కాచి వడపోసిన సూత్రాలలోని అంతరార్ధం కూడ అర్ధం కావాలి. ఇలా గూఢ భాషలో, సంక్షిప్త లిపిలో రాయటం కంఠోపాఠానికి అనుకూలిస్తుందనే చేసేరు తప్ప విద్యని నలుగురికి పంచిపెడితే శేముష్య సంపద (‘ఇంటలెక్టువల్ ప్రోపర్టీ’) కి నష్టం వస్తుందని కాదు. ఇలా శేముష్య సంపద వంటి ఊహలు ఎవరి పుర్రెలోనైనా పుడితే వారిని నిరుత్సాహ పరచటానికా అన్నట్లు, ‘తనకి వచ్చిన విద్యని శిష్యులకి బోధించని గురువు మరుసటి జన్మలో బ్రహ్మ రాక్షసుడు అవుతాడు’ అనే లోక ప్రవాదం లేవదీసేరు.

ఈ నేపధ్యంలో ఆర్యభట్టీయం లోని పన్నెండవ శ్లోకాన్ని కొంచెం పరిశీలిద్దాం:

మఖీ భఖీ ఫఖీ ధఖీ ణఖీ ఙఖీ
ణఖీ హస్‌ఝ స్కకీ కిష్గ ఘకీ కిఘ్వ
ఘ్లకీ కిగ్ర హక్య ధకీ కిచ
స్గష్‌జ ణ్వ క్ల ప్త ఫ చ కళార్ధ జ్యా

ఈ శ్లోకంలో ఆఖరి పదం ఒక్కటే సంస్కృతం; మిగిలిన 24 పదాలూ 24 శబ్ద సముదాయాలు. వాటికి భాషలో అర్ధం లేదు. వీటిలో ప్రతి శబ్ద సముదాయమూ ఒక అంకెని కాని, సంఖ్యని కాని సూచిస్తుంది. ఈ అంకెలన్నీ ‘జ్యా’ అనే రేఖాగణిత భావాన్ని నిర్వచించటానికి ఉపయోగపడతాయి. మనం ఈ రోజులలో ‘ట్రిగొనామెట్రి’ లో వాడే ‘సైన్’ యొక్క నిర్వచనం ఈ శ్లోకంలో గూఢమైన పద్ధతిలో నిబిడీకృతమై ఉంది. ఈ పద్ధతి కూడ ఆర్యభట్టే ప్రవేశపెట్టి ఉండొచ్చు. ఈ శ్లోకం అర్ధం చేసుకోవాలంటే కొంచెం శ్రమ పడాలి.

తెలుగు లోనూ, సంస్కృతం లోనూ 25 హల్లులని ఐదు వర్గాలుగా విడగొట్టి రాస్తాం కదా.
క, ఖ, గ, ఘ, ఙ లు క-వర్గు.

చ, ఛ, జ, ఝ, ఞ లు చ-వర్గు.

ట, ఠ, డ, ఢ, ణ లు ట-వర్గు.

త, థ, ద, ధ, న త-వర్గు.

ప, ఫ, బ, భ, మ ప-వర్గు.

ఈ 25 హల్లులకి 1, 2, 3, …, 25 అనే విలువలు ఆపాదిద్దాం.

ఇదే విధంగా య లగాయతు హ వరకు ఉన్న య, ర, ల, వ, శ, ష, స, హ లకి 30, 40, 50, 60, 70, 80 90, 100 అనే విలువలు ఆపాదిద్దాం.

ఇక మిగిలిపోయినవి సంస్కృతం లోని అచ్చులు. వీటి విలువలు ఈ దిగువ చూపిన విధంగా ఇద్దాం. (ఇక్కడ 100^3 అంటే 100 ని 3 సార్లు వేసి గుణించగా వచ్చిన లబ్దం అని అర్ధం. 100^0 యొక్క విలువ 1 అని నిర్వచనం.)
అ, ఆ : 100^0 = 1
ఇ, ఈ : 100^1 = 100
ఉ, ఊ : 100^2 = 10,000
ఋ, ౠ: 100^3 = 1,000,000
ఌ, ౡ: 100^4 = 1 తర్వాత 8 సున్నలు
ఏ: 100^5 = 1 తర్వాత 10 సున్నలు
ఐ: 100^6 = 1 తర్వాత 12 సున్నలు
ఓ: 100^7 = 1 తర్వాత 14 సున్నలు
ఔ: 100^8 = 1 తర్వాత 16 సున్నలు

ఈ పద్ధతిలో లెక్క పెట్టటం ఎలాగో చూద్దాం.

ముందుగా గుణింతాలని పరిశీలిద్దాం. (ఇక్కడ ఒక * గుర్తు గుణకారానికి చిహ్నం.)
క = క*అ = 1 * (100^0) = 1

కి = క*ఇ = 1* (100^1) = 100

గు = గ*ఉ = 3 * (100^3) = 30,000

ఇప్పుడు ద్విత్వాక్షరాలని పరిశీలిద్దాం.

గ్న = గ + న = 3 + 20 = 23

గ్ను = (గ + న) * ఉ = 23 * (100^2) = 230,000

ఖ్యు-ఘృ = ఖ్యు + ఘృ = (2 + 30) * (100^2) + 4 * (100^3) = 4, 320,000

ఇలా అంకెల స్థానంలో అక్షరాలు వాడి, ఆ అక్షరాలతో మాటలు పేర్చి, ఆ మాటలతో శ్లోకాలు కూర్చి, ఆ శ్లోకాలని కంఠస్థం చేసి, మన వాళ్ళు వాళ్ళకి తెలిసిన పరిజ్ఞానాన్ని మనకి అందించేరు.

ఇంతా విశదీకరించి పైన చూపిన శ్లోకం యొక్క అర్ధం చెప్పక పోతే ఏమి బాగుంటుంది? ఒక వృత్తంలో నాల్గవ భాగాన్ని తురీయం అంటారు. ఇంగ్లీషులో ‘క్వాడ్రెంట్.’ ఈ తురీయం లో ఉన్న 90 డిగ్రీలని 24 సమ భాగాలు చేస్తే ఒకొక్క భాగం 3.75 భాగలు (జ్యోతిష శాస్త్రంలో వచ్చే ‘భాగ’ అన్న మాట ఇంగ్లీషులోని ‘డిగ్రి’ కి సమానార్ధకం). ఈ 3.75 భాగలని 60 పెట్టి గుణిస్తే 225 నిమిషాలు వస్తాయి, అవునా?

ఇప్పుడు మన శ్లోకం లోని మొదటి మాట ‘మఖీ’ విలువ ఎంతో కడదాం.

మఖీ = 25 * (100^0) + (2*100) = 225.

కనుక మఖీ అంటే 225, లేదా ఒక వృత్తం లోని తురీయంలో 24 వ వంతు. ఇలాగే శ్లోకం అంతా ఓపిక పట్టి చదువరులు అర్ధం చేసుకుంటారని ఆశిస్తున్నాను. ఇలాగే వేదాలలో ఉన్న మంత్రాలు కూడ అర్ధగర్భితాలు. ఈ సూక్ష్మం కూడ పరిశోధన చేసి కనుక్కో వచ్చు.

10 comments:

  1. వేమూరి గారు,

    ముందుగా చిన్న సవరణ: రొడ్డం గారి వ్యాసం Science లో కాదు, Nature లో వచ్చింది. _Sines in terse verse_.

    ప్రస్తుతం నేను జర్మనీలో లేను.అందువల్ల పై వ్యాసంలో ఏ వాక్యాలు రొడ్డం నరసింహా గారివో, ఏవి మీవో బోధపడటం లేదు. ఈ క్రింది రెండు వాక్యాలు యెవరివి:
    1. "అందుకని ఈ కంఠోపాఠం చేసే సంప్రదాయాన్ని (‘ఓరల్ ట్రెడిషన్’) ని రక్షించటానికి రాజులు బ్రాహ్మణులని పోషించటం మొదలు పెట్టేరు. ఇలా కొన్ని శతాబ్దాలపాటు ఆక్షేపణ లేకుండా జరిగింది.
    2. ఇలాగే వేదాలలో ఉన్న మంత్రాలు కూడ అర్ధగర్భితాలు. ఈ సూక్ష్మం కూడ పరిశోధన చేసి కనుక్కో వచ్చు.

    ముఖ్యంగా రెండో వాక్యం (మీ బ్లాగులో చిట్టచివరి వాక్యం) ఏ ఆధారాలతో అంటున్నారో అర్థం కావడం లేదు. కన్యాశుల్కంలో గిరీశం గారి వాక్యంలా ధ్వనిస్తుంది!

    పై 2 వాక్యాలని పక్కన పెడితే మంచి వ్యాసం. అలానే రొడ్డం పేరుని ప్రస్తావించడం కూడా బాగుంది. మీకు ఆసక్తి వుంటే నరసింహ గారు గత కొద్ది సంవత్సరాలలో non-science/engineering జర్నల్స్ లో ప్రచురించిన రెండు మంచి వ్యాసాలు (నా దృష్టిలో!) పంపగలను. మిగిలనవి మీకెలాగు తేలికగా దొరుకుతాయి కనుక ...

    1. Epistemology and language in Indian astronomy and mathematics; Journal of Indian Philosophy V.35 N5-6:521-541 (with a small correction in 2008)
    2. Axiomatism and computational positivism: Two mathematical cultures in pursuit of exact sciences; Economic and Political Weekly, 20 August(pp. 3650-3656); 2003

    Regards,
    Sreenivas

    ReplyDelete
  2. మంచి వ్యాసం ఆచార్యులుగారు. కొంతకాలం క్రితం ఇక్కడ కొన్ని విషయాలు చదివాను. మీకు తెలిసే ఉండవచ్చును.
    http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/history/Projects/Pearce/

    అప్పట్లో మా లెక్కల పంతులుగారు శ్రీయంత్రం గురించి చెప్పారు. అది మీరు విశదీకరిస్తే బాగుంటుంది.

    ReplyDelete
  3. Sir

    As your posts are a bit long ones as compared to others, I suggest you to limit it to 1 post or max of 2 posts on the main page. Otherwise it will be very slow to load...

    Dashboard --> Settings --> Formatting --> Show Posts

    Regards

    Vamsi

    ReplyDelete
  4. శ్రీనివాస్ గారు:

    ఈ వ్యాసానికి మూలాధారం "నేచర్" అనటానికి బదులు పొరపాటుగా "సైన్సు" అన్నాను. ఈ వ్యాసంలో పూర్వ భాగంలో చెప్పిన ఉదాహరణలు ఎప్పుడు, ఎక్కడనుండి సంపాదించేనో గుర్తు లేదు కాని ఉత్తర భాగంలో ఇచ్చిన ఉదాహరణలన్నీ నేచర్ లో ఉన్నాయి. కాని ఇది "నేచర్" లో వ్యాసానికి మక్కీకి మక్కీ అనువాదం మాత్రం కాదు; నా పైత్యం కొంత ఉంది. ఎప్పుడో నాలుగైదు ఏళ్ళ క్రితం రాసేను కనుక ఏది మూలం లో ఉందో ఏది నా స్వకపోలకల్పితమో మూలాన్ని సంప్రదించకుండా ఇప్పుడు చెప్పలేను. రొడ్డం నరసింహ గారు రాసినవీ, సులభంగా దొరకనివీ ఏమయినా మీదగ్గర ఉంటే తప్పకుండా పంపండి.

    ReplyDelete
  5. వంశీ

    నేను ఈ బ్లాగు ప్రపంచానికి కొత్త. బ్లాగులకి సరిపోయే పద్ధతిలో చిన్న చిన్న గుళికలలో రాయటానికి ప్రయత్నిస్తాను. ఇప్పటివరకు రాసినవన్నీ బ్లాగుల కోసం రాసినవి కావు; ఎప్పుడో రాసినవి. ఈ లోగా మీ సలహా ప్రకారం మార్పులు చేసేను. చూసి ఎలా ఉందో చెప్పండి.

    ReplyDelete
  6. సర్

    మీరు కొత్తవయినా, పాతవయినా టపాల నిడివి తగ్గించొద్దు..నేను తట్టుకోలేను...

    మీరు సెట్టింగు మార్చాక ఇప్పుడు లోలకం చాలా వేగంగా ఊగుతోంది...

    మీ నుంచి మరిన్ని చెరుకు గడల కోసం ఎదురు చూస్తూ...

    ReplyDelete
  7. గురువుగారు, ఆర్యభట్ట ఆ విలువల్ని శ్లోకరూపంలో ఎలా చెప్పాడో తెలిపారు. మరి అతను ఆ విలువలు ఎలా గుణించాడో కూడా తెలపండి.

    ReplyDelete
  8. శ్లోకాల్లో ఎంతో విషయాన్ని పొందుపరిచే వారు మన పూర్వీకులని తెలుసు కానీ,ఇలాంటి ఋజువులు చూపించినందుకు నెనర్లు. ఆంగ్లవిద్య మాత్రమే తెలిసిన వారికి ఇంకొంచెం గట్టిగా నమ్మకం కలిగేటట్టు చెప్పారు.

    ReplyDelete
  9. మీ టపాలన్ని విడవకుండా చదువుతున్నాను. ఇన్నాళ్ళూ ఇక్కడ వ్యాఖ్యా నించ పోవడానికి కారణం ఏమి లేదు. కాని ఈ రోజు వ్యాఖ్యానించడానికి కారణం - మీరు మీకు తెలిసింది మాతో ఆగకుండా, ఆపకుండా పంచుకుంటారని!

    ReplyDelete
  10. This is a test. Savitri Ramanarao says that she could not post her comment on this blog. I have not visited this site in ages. So this is a test

    ReplyDelete